线性代数¶
因为数学库有好多现成的，这里只是写着玩，方便理解。
1. dot product: 投影长度
$ \vec{\mathbf{a}} * \vec{\mathbf{b}} = |a| * |b| * \cos\theta = \sum\limits_{i=1}^n a_i*b_i = \vec{\mathbf{a}}^T \vec{\mathbf{b}} $
2. cross product: 有向面积, 右手定则
\(\vec{\mathbf{a}} \times \vec{\mathbf{b}}\) = |a||b| \(sin\theta*\hat{\mathbf{n}}\)
若
$ \vec{\mathbf{a}} \times \vec{\mathbf{b}} = \vec{\mathbf{c}}, \vec{\mathbf{a}} = (a_x, a_y, a_z)^T, \vec{\mathbf{b}} = ( b_x, b_y, b_z)^T $
, 则:
\(\vec{\mathbf{c}} = \begin{pmatrix} a_y * b_z - a_z * b_y \\\\ a_z * b_x - a_x * b_z \\\\ a_x * b_y - a_y * b_z \end{pmatrix}\)
3. 旋转矩阵
基\([\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}]\)定义一个坐标系，该基旋转变为\([\vec{e_1}', \vec{e_2}', \vec{e_3}']\)。
则向量
\(\vec{a} = \begin{pmatrix}a_1 \\\\ a_2 \\\\ a_3 \end{pmatrix}\),
在新坐标系内的表示变为
\(\vec{a'} \= \begin{pmatrix}a_1' \\\\ a_2' \\\\ a_3' \end{pmatrix}\)
(注意\(\vec{a'}\)并没有经这坐标变换),
则：
$[\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}] \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = [\vec{e_1}', \vec{e_2}', \vec{e_3}'] \begin{pmatrix} a_1' \\ a_2' \\ a_3' \end{pmatrix} $
则：
$ \begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e_1^T e_1' & e_1^Te_2' & e_1^T e_3' \\ e_2^T e_1' & e_2^Te_2' & e_2^T e_3' \\ e_3^T e_1' & e_3^Te_2' & e_3^T e_3' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1' \\ a_2' \\ a_3' \end{pmatrix} = \vec{R}\vec{a}' $
SO(3)特殊正交群，(Special Othogonal Group), 正交矩阵（行列式为1)：
SO(n) = { \(\vec{R} \in R^{n \times n}\) | $ \vec{R} \vec{R}^T $ = \(\vec{I}, det( \vec{R} )\) = 1 }
4. 欧氏变换
欧氏变换 = 旋转 + 平移
\(\vec{a}' = \vec{R} \vec{a} + \vec{t}\)
5. 齐次坐标
\(\begin{pmatrix} \vec{a} ' \\\\ 1 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} \vec{R} & \vec{t} \\\\ \vec{0}^T & 1 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} \vec{a} \\\\ 1 \end{pmatrix}\) = \(\vec{T} \begin{pmatrix} \vec{a} \\\\ 1 \end{pmatrix}\)
T属于特殊欧氏群(Special Euclidean Group), SE(n)
SE(3) = $ { \vec{T} = \begin{pmatrix} \vec{R} & \vec{t} \\ \vec{0}^T & 1\end{pmatrix} \in R^{4 \times 4} | \vec{R} \in SO(3), t \in R^3 } $
6. 表
| 变换名称 | 归类 | 矩阵形式 | 自由度 | 不变性质 | 备注 |
|---|---|---|---|---|---|
| 欧氏变换 | 线性变换，刚性变换 | \(\begin{pmatrix} \vec{R} & \vec{t} \\\\ \vec{0}^T &1 \end{pmatrix}\) | 6 | 长度、夹角、体积 | 旋转＋平移 自由度：旋转3, 平移3 |
| 相似变换 | 线性变换 | \(\begin{pmatrix} \vec{sR} & \vec{t} \\\\ \vec{0}^T &1 \end{pmatrix}\) | 7 | 体积比 | 旋转＋平移＋缩放自由度：旋转3, 平移3, 均匀缩放1 |
| 仿射变换(正交投影) | 线性变换 | \(\begin{pmatrix} \vec{A} & \vec{t} \\\\ \vec{0}^T &1 \end{pmatrix}\) | 12 | 平行性，体积比 | \(\vec{A}\)只要求可逆，不要求正交自由度：旋转3, 平移3, 缩放1 |
| 射影变换 | 线性变换 | \(\begin{pmatrix} \vec{A} & \vec{t} \\\\ \vec{a}^T & v \end{pmatrix}\) | 15 | 接触平面的相交和相切 | 自由度：旋转3, 平移3, 缩放1 |
**7. 图形学中常见变换
| 符号(Notation) | 名字(Name) | 特性 |
|---|---|---|
| \(\vec{T}(t)\) | 平移矩阵 | Affine |
| \(\vec{R_x}(\rho)\) | 旋转矩阵 | 线x轴旋转\(\rho\)弧度。Orthogonal & Affine |
| \(\vec{R}\) | 旋转矩阵 | Orthogonal & Affine |
| \(\vec{S}(s)\) | 缩放矩阵 | x, y, z同时均匀缩放s。Affine |
| \(\vec{H}_{ij}(s)\) | 错切矩阵(shear matrix) | 使用系统s来相对于分量j错切（推移）分量i,\(i,j \in \{ x, y, x\}\) |
| \(\vec{E}(h,p,r)\) | 欧拉变换(Euler Transform) | yaw, pitch, roll Orthogonal & affine |
| \(\vec{P}_o(s)\) | 正交投影(orthogonal projection) | Affine |
| \(\vec{P}_p(s)\) | 透视投影(perspection projection) | .. |
| $slerp(\hat{q}, \hat{r}, t) $ | 线性插值变换(slerp transform) | 对四元数\(\hat(q), \hat(r)\)用参数t插值得到的新四元数 |
| 符号(Notation) | 名字(Name) | 特性 | 表示 |
|---|---|---|---|
| \(\vec{T}(t)\) | 平移矩阵 | Affine | \(\begin{pmatrix} I^3 & \vec{t} \\\\ 0^t & 1 \end{pmatrix}\) |
| \(\vec{R_x}(\rho)\) | 旋转矩阵 | 线x轴旋转\(\rho\)弧度。Orthogonal & Affine | \(\vec{R}_x(\phi) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & cos\phi & -sin\phi & 0 \\\\ 0 & sin\phi & cos\phi & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) \(\vec{R}_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos\phi & 0 & sin\phi & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ -sin\phi & 0 & cos\phi & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) \(\vec{R}_z(\phi) = \begin{pmatrix} cos\phi & -sin\phi & 0 & 0 \\\\ sin\phi & cos\phi & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) |
| \(\vec{R}\) | 旋转矩阵 | Orthogonal & Affine | |
| \(\vec{S}(s)\) | 缩放矩阵 | x, y, z同时均匀缩放s。Affine | \(\vec{S}(\vec{s}) = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & s_y & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & s_z & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\) |
| \(\vec{H}_{ij}(s)\) | 错切矩阵(shear matrix) | 使用系统s来相对于分量j错切（推移）分量i,\(i,j \in \{ x, y, x\}\) | \(\vec{H}_{xz}(s) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & s & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) |
| \(\vec{E}(h,p,r)\) | 欧拉变换(Euler Transform) | yaw, pitch, roll Orthogonal & affine | |
| \(\vec{P}_o(s)\) | 正交投影(orthogonal projection) | Affine | |
| \(\vec{P}_p(s)\) | 透视投影(perspection projection) | .. | |
| $slerp(\hat{q}, \hat{r}, t) $ | 线性插值变换(slerp transform) | 对四元数\(\hat(q), \hat(r)\)用参数t插值得到的新四元数 |