1. 线性代数

因为数学库有好多现成的，这里只是写着玩，方便理解。

1. dot product: 投影长度

$\overrightarrow{\mathbf{a}}\ast \overrightarrow{\mathbf{b}}=|a|\ast |b|\ast \cos \theta =\sum _{i=1}^n{a}_i\ast b_i={\overrightarrow{\mathbf{a}}}^T\overrightarrow{\mathbf{b}}$

2. cross product: 有向面积, 右手定则

$\overrightarrow{\mathbf{a}}\times \overrightarrow{\mathbf{b}}$ = |a||b| $sin\theta \ast \hat{\mathbf{n}}$

若

$\overrightarrow{\mathbf{a}}\times \overrightarrow{\mathbf{b}}=\overrightarrow{\mathbf{c}},\overrightarrow{\mathbf{a}}=(a_x,a_y,a_z{)}^T,\overrightarrow{\mathbf{b}}=(b_x,b_y,b_z{)}^T$

, 则:

$\overrightarrow{\mathbf{c}}=\left(\begin{array}{c}{a}_y\ast b_z-a_z\ast b_y\\ a_z\ast b_x-a_x\ast b_z\\ a_x\ast b_y-a_y\ast b_z\end{array}\right)$

3. 旋转矩阵

基$[\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}]$定义一个坐标系，该基旋转变为$[{\overrightarrow{e_1}}^{\prime },{\overrightarrow{e_2}}^{\prime },{\overrightarrow{e_3}}^{\prime }]$。 则向量 $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)$, 在新坐标系内的表示变为 $\overrightarrow{a^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}{a}_1^{\prime }\\ a_2^{\prime }\\ a_3^{\prime }\end{array}\right)$ (注意$\overrightarrow{a^{\prime }}$并没有经这坐标变换),

则：

$[\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}]\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)=[{\overrightarrow{e_1}}^{\prime },{\overrightarrow{e_2}}^{\prime },{\overrightarrow{e_3}}^{\prime }]\left(\begin{array}{c}{a}_1^{\prime }\\ a_2^{\prime }\\ a_3^{\prime }\end{array}\right)$

则：

$\left(\begin{array}{c}{a}_1{a}_2{a}_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{e}_1^T{e}_1^{\prime }& e_1^T{e}_2^{\prime }& e_1^T{e}_3^{\prime }\\ e_2^T{e}_1^{\prime }& e_2^T{e}_2^{\prime }& e_2^T{e}_3^{\prime }\\ e_3^T{e}_1^{\prime }& e_3^T{e}_2^{\prime }& e_3^T{e}_3^{\prime }\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_1^{\prime }\\ a_2^{\prime }\\ a_3^{\prime }\end{array}\right)=\overrightarrow{R}{\overrightarrow{a}}^{\prime }$

SO(3)特殊正交群，(Special Othogonal Group), 正交矩阵（行列式为1)：

SO(n) = { $\overrightarrow{R}\in R^{n\times n}$ | $\overrightarrow{R}{\overrightarrow{R}}^T$ = $\overrightarrow{I},det(\overrightarrow{R})$ = 1 }

\[\{\vec{R} \in R^{n \times n} | \vec{R}\vec{R}^T= \vec{I}, det(\vec{R}) = 1 \}\]

4. 欧氏变换

欧氏变换 = 旋转 + 平移

${\overrightarrow{a}}^{\prime }=\overrightarrow{R}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{t}$

5. 齐次坐标

$\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{a}‘\\ 1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{cc}\overrightarrow{R}& \overrightarrow{t}\\ {\overrightarrow{0}}^T& 1\end{array}\right)$ $\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{a}\\ 1\end{array}\right)$ = $\overrightarrow{T}\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{a}\\ 1\end{array}\right)$

T属于特殊欧氏群(Special Euclidean Group), SE(n)

SE(3) = $\overrightarrow{T}=\left(\begin{array}{cc}\overrightarrow{R}& \overrightarrow{t}\\ {\overrightarrow{0}}^T& 1\end{array}\right)\in R^{4\times 4}|\overrightarrow{R}\in SO(3),t\in R^3$

6. 表

---

变换名称	归类	矩阵形式	自由度	不变性质	备注
欧氏变换	线性变换，刚性变换	$\left(\begin{array}{cc}\overrightarrow{R}& \overrightarrow{t}\\ {\overrightarrow{0}}^T& 1\end{array}\right)$	6	长度、夹角、体积	旋转＋平移 自由度：旋转3, 平移3
相似变换	线性变换	$\left(\begin{array}{cc}\overrightarrow{sR}& \overrightarrow{t}\\ {\overrightarrow{0}}^T& 1\end{array}\right)$	7	体积比	旋转＋平移＋缩放自由度：旋转3, 平移3, 均匀缩放1
仿射变换(正交投影)	线性变换	$\left(\begin{array}{cc}\overrightarrow{A}& \overrightarrow{t}\\ {\overrightarrow{0}}^T& 1\end{array}\right)$	12	平行性，体积比	$\overrightarrow{A}$只要求可逆，不要求正交自由度：旋转3, 平移3, 缩放1
射影变换	线性变换	$\left(\begin{array}{cc}\overrightarrow{A}& \overrightarrow{t}\\ {\overrightarrow{a}}^T& v\end{array}\right)$	15	接触平面的相交和相切	自由度：旋转3, 平移3, 缩放1

**7. 图形学中常见变换

符号(Notation)	名字(Name)	特性
$\overrightarrow{T}(t)$	平移矩阵	Affine
$\overrightarrow{R_x}(\rho )$	旋转矩阵	线x轴旋转$\rho$弧度。Orthogonal & Affine
$\overrightarrow{R}$	旋转矩阵	Orthogonal & Affine
$\overrightarrow{S}(s)$	缩放矩阵	x, y, z同时均匀缩放s。Affine
${\overrightarrow{H}}_{ij}(s)$	错切矩阵(shear matrix)	使用系统s来相对于分量j错切（推移）分量i,$i,j\in x,y,x$
$\overrightarrow{E}(h,p,r)$	欧拉变换(Euler Transform)	yaw, pitch, roll Orthogonal & affine
${\overrightarrow{P}}_o(s)$	正交投影(orthogonal projection)	Affine
${\overrightarrow{P}}_p(s)$	透视投影(perspection projection)	..
$slerp(\hat{q},\hat{r},t)$	线性插值变换(slerp transform)	对四元数$\widehat{(}q),\widehat{(}r)$用参数t插值得到的新四元数

符号(Notation)	名字(Name)	特性	表示
$\overrightarrow{T}(t)$	平移矩阵	Affine	$\left(\begin{array}{cc}{I}^3& \overrightarrow{t}\\ 0^t& 1\end{array}\right)$
$\overrightarrow{R_x}(\rho )$	旋转矩阵	线x轴旋转$\rho$弧度。Orthogonal & Affine	${\overrightarrow{R}}_x(\varphi )=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos\varphi & -sin\varphi & 0\\ 0& sin\varphi & cos\varphi & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$ ${\overrightarrow{R}}_y(\varphi )=\left(\begin{array}{cccc}cos\varphi & 0& sin\varphi & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -sin\varphi & 0& cos\varphi & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$ ${\overrightarrow{R}}_z(\varphi )=\left(\begin{array}{cccc}cos\varphi & -sin\varphi & 0& 0\\ sin\varphi & cos\varphi & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$
$\overrightarrow{R}$	旋转矩阵	Orthogonal & Affine
$\overrightarrow{S}(s)$	缩放矩阵	x, y, z同时均匀缩放s。Affine	$\overrightarrow{S}(\overrightarrow{s})=\left(\begin{array}{cccc}{s}_x& 0& 0& 0\\ 0& s_y& 0& 0\\ 0& 0& s_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$
${\overrightarrow{H}}_{ij}(s)$	错切矩阵(shear matrix)	使用系统s来相对于分量j错切（推移）分量i,$i,j\in x,y,x$	${\overrightarrow{H}}_{xz}(s)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& s& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$
$\overrightarrow{E}(h,p,r)$	欧拉变换(Euler Transform)	yaw, pitch, roll Orthogonal & affine
${\overrightarrow{P}}_o(s)$	正交投影(orthogonal projection)	Affine
${\overrightarrow{P}}_p(s)$	透视投影(perspection projection)	..
$slerp(\hat{q},\hat{r},t)$	线性插值变换(slerp transform)	对四元数$\widehat{(}q),\widehat{(}r)$用参数t插值得到的新四元数